Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen

V této knize formuloval jeden z nejvýznamnějších matematiků přelomu 19. a 20. století svou teorii integrálních rovnic. Obsahuje šest zpráv o „základech obecné teorie lineárních integrálních rovnic“, jež byly v průběhu let 1904–1910 zveřejňovány ve Zprávách císařské společnosti věd v Göttingenu. Hilbert se zde zabývá kromě vlastní teorie lineárních integrálních rovnic, její aplikací na teorii funkcí nekonečně mnoha proměnných, na obyčejné (tedy derivace podle jedné proměnné) a parciální (derivace podle více proměnných) diferenciální rovnice, na variační počet, geometrii, hydrodynamiku a teorii plynů. Právě z aplikace lineárních integrálních rovnic si lze učinit obraz o rozpětí Hilbertových vědeckých zájmů. V každém z oborů, na něž aplikoval tuto teorii, dosáhl mimořádných výsledků. Z teorie plynů například vyplývá, že všechny částice plynu se nepohybují stejnou rychlostí, po určité době se však rozložení rychlostí a energií stabilizuje, což popisuje Maxwell-Boltzmannova distribuční funkce. Integrál funkce f (v) se rovná počtu částic v jednotce objemu. Z distribuce rychlostí částic pak můžeme vypočítat nejpravděpodobnější rychlost. Význam integrálních rovnic shrnuje Hilbert v závěru svého spisu: „Bližší zkoumání tohoto předmětu mě vedlo k poznání, že systematická výstavba teorie lineárních integrálních rovnic je pro celkovou analýzu, zejména pro teorii určitých integrálů a pro teorii funkcí více proměnných, dále pro teorii lineárních diferenciálních rovnic a pro teorii analytických funkcí, právě tak jako pro teorii množin a variačního počtu nanejvýš důležitá.“

Sepsal: PhDr. Michal Janata