Stetigkeit und irrationale Zahlen

Těžištěm Dedekindova matematického působení je konstrukce reálných čísel. Slavná Dedekindova úvaha se tedy netýká jen iracionálních čísel, ale celého oboru reálných čísel. Reálná čísla jsou čísla, jimž lze přiřadit body na číselné ose. Jinak je lze definovat tak, že se dají zapsat v desetinném rozvoji, tedy jako desetinné číslo. Reálná čísla mohou být racionální, to znamená, že je lze vyjádřit zlomkem a jejich desetinný rozvoj je periodický, iracionální čísla nelze vyjádřit zlomkem a jejich desetinný rozvoj je neperiodický a neukončený.

Dedekind se v tomto díle zaměřil na iracionální čísla a knihu rozvrhl do šesti částí. V první se zabývá vlastnostmi iracionálních čísel a srovnáváním racionálních čísel s body přímky, ve druhé kontinuitou přímky, ve třetí vznikem iracionálních čísel, ve čtvrté kontinuitou celého oboru reálných čísel, tedy racionálních i iracionálních, v pátém matematickými operacemi v oboru reálných čísle a v poslední infinitesimální analýzou.

Motiv k napsání tohoto díla vyjádřil Dedekind hned na začátku: „Když jsem r. 1858 začal přednášet základy diferenciálního počtu, pocítil jsem naléhavěji než dříve nedostatky ve vědeckých základech aritmetiky. Při důkazu toho, že proměnná veličina, která roste, ale je omezena fixní hranicí, musí se blížit jisté limitě, jsem používal geometrickou intuici. Takovou názornost při přednášce didakticky schvaluji. Nedá se však hodnotit jako vědecký postup. Přemýšlel jsem proto, jak čistě aritmeticky a přísně logicky zdůvodnit základy diferenciálního počtu.“

V Dedekindově teorii přirozených čísel, která se v této knize objevuje v zárodečné podobě, nalézáme jedno z dovršení aritmetizace matematiky, které nacházíme rovněž v Gaussově a Weierstrassově principu.

Sepsal: PhDr. Michal Janata